Uma comparação entre trigonometria euclidiana e a trigonometria hiperbólica

Abstract

Este trabalho de conclusão de curso tem como questão central investigar de que modo a substituição do postulado das paralelas de Euclides pelo axioma de Lobachevsky altera as relações entre lados e ângulos dos triângulos. Para tanto, elaborou-se um referencial teórico constituído por uma introdução histórica e uma compilação axiomática das geometrias neutra e hiperbólica, a fim de, posteriormente, aprofundar os conceitos trigonométricos. A pesquisa, de natureza qualitativa e método axiomático-dedutivo, foi conduzida em três etapas: (i) seleção do material bibliográfico; (ii) construção axiomática das geometrias e redação do trabalho; (iii) comparação sistemática da trigonometria hiperbólica com a euclidiana. Entre os principais resultados obtidos, deduzem-se as relações trigonométricas hiperbólicas, o Teorema de Pitágoras Hiperbólico, a Lei dos Senos Hiperbólica e as duas versões da Lei dos Cossenos Hiperbólica. Demonstra-se que, para triângulos suficientemente pequenos, as fórmulas hiperbólicas aproximam-se das euclidianas, evidenciando a Geometria Euclidiana como caso limite local da Geometria Hiperbólica. Conclui-se, assim, que a substituição do postulado das paralelas altera as relações trigonométricas mediante o emprego das funções seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica, preservando, contudo, a estrutura formal das leis. O trabalho também aborda a relevância do estudo das geometrias não euclidianas na formação inicial do professor de Matemática, ressaltando sua contribuição para o desenvolvimento de uma prática docente fundamentada.